1. Lois de composition internes 1.1. a b, on parle de la loi et on dit que a b est le compos e de a et b pour la loi . En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une loi de composition interne est une application qui, à deux éléments d'un ensemble E, associe un élément de E.Autrement dit, c'est une opération binaire [1] par laquelle E est stable.. L'addition et la multiplication dans l'ensemble des entiers naturels sont des exemples classiques de lois de composition internes. Premières définitions Définition 1.1 Une loi de composition interne (l.c.i) sur un ensemble E est une application (x,y)7!x? Une loi de composition interne (l.c.i) sur un ensemble E est une application (x,y)7!x? •Muni de cette loi, Hest un groupe. 2. On la note souvent : (On utilisera aussi les notations , , , , etc ...) Exemples : La multiplication et la soustraction sont des lci dans La division n'est pas une lci dans y de E£E !E. Remarques 2 •En pratique, pour montrer qu’une partie non vide H de Gen constitue un sous-groupe, il suffit de v´erifier : – eG∈H; 3 Correction de l’exercice 21 N Soit H une partie finie non vide de G stable par la loi de composition. Lois de composition interne : Exercices 1 Dans l’ensemble E = {a;b;c}, on d´efinit une loi interne × par: a×a = b×c = c×b = a b×b = a×c = c×a = b c×c = a×b = b×a = c Quelles sont les propri´et´es de cette loi ? Un ensemble E muni d’une loi de composition interne constitue une structure appelée magma et notée " ( E, ) ". D e nition et exemples D e nition 5.1 { Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E (ou encore une opération dans E) est une application f de E × E dans E. :;; f E E E On note alors : H x+y+2xy est une application de RxR vers R (et c'est la définition de loi interne) un seul element =loi et de R = interne (evident) Pour cela tu dois verifier que si x=x' et y=y' alors x*y =x' *y' facile à verifier commutativité il suffit de remarquer que x+y+2xy=y+x+2yx est vrai pour toutx et y de R •∗induit sur Hune loi de composition interne. (y?z) pour tous x,y,z2E. La suite sur la vidéo. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Si on la note E E ! On appelle loi de composition interne sur un ensemble E toute application de E × E dans E (il s'agit donc de relations ternaires internes). Elle est dite commutative si x?y˘ y?x pour tous x,y2E. Exo7 : Cours et exercices de mathématiques -- Première anné . redaction octobre 31, 2018 Lois de composition interne, Nombres réels Lois de composition internes - Relations 1. y de E£E !E. Certaines d'entre elles seront laissées aux étudiants sous forme d'exercices. 2 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois ? 1. Pour montrer que H est un sous-groupe, il reste à voir que pour tout x ∈ H, x−1 ∈ H. Les puissances xk où k ∈ N restant … Cette loi est dite associative si (x?y)?z˘ x? et , admettant le mˆeme ´el´ement neutre e, telles que: E (a;b) 7 ! Groupes Exercice 3. * ExE => E, (a,b) => a*b. on dit L’opération + est une lois de composition interne sur b) L’opération - sur n’est une lois de composition interne sur car par exemple : 2 et 3 mais : 23 2)Définition : Soit E un ensemble non vide. Exemple 1.1 Dans N, l’addition ¯ et la multiplication £ sont des lois de composition internes.