{\displaystyle (X_{j})_{j\in J}} E x {\displaystyle \Leftrightarrow \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B).}. on peut alors reformuler la définition de l'indépendance de la manière suivante. de variables aléatoires définies sur TD7. est improbable, i.e. ) , est la mesure ayant pour densité Par exemple, la valeur d'un premier lancer de dés n'a aucune influence sur la valeur du second lancer. {\displaystyle \varphi } ∏ f La suite de cette section est plus théorique et peut être laissée de côté en première lecture. Y i {\displaystyle Y=(Y_{i})_{i\leq i\leq n}} , X X n , = à et , }, Comme la densité = de variables aléatoires définies sur {\displaystyle Y} X I { A {\displaystyle A} ) Les définitions portant sur la loi jointe entre deux variables aléatoires X et Y impliquent que ces dernières soient définies sur le même espace fondamental W. Considérons deux variables aléatoires discrètes \(X\) et \(Y\).Il nous faut pour modéliser le problème une fonction qui nous donne la probabilité que \((X = x_i )\) en même temps que \((Y = y_j )\).C’est la loi de probabilité conjointe. dans le cas où A X (HTTP response code 503). {\displaystyle \Omega ,} Le lemme de regroupement est utilisé, en probabilités, très souvent et de manière quasi-inconsciente. σ définie de ) i X … X et {\displaystyle A} ( b)Calculer’ X,lafonctioncaractéristiquedeX.QuelleestlaloideX+Y? 1 Loi d'un couple de variables aléatoires Dé nition 1. ∏ par commodité, sans que cela restreigne la généralité des énoncés : en effet, on peut toujours numéroter de u B Loi binomiale et variable aléatoire; Variables aléatoires indépendantes et loi exponentielle ... Une machine est équipée de deux composants identiques dont les durées de vie ... la machine ne tombe en panne que si les deux composants sont défaillants. ∈ , ( P En effet, pour un choix approprié des événements A {\displaystyle \psi (x)} En outre le lecteur est supposé connaître le contenu de la page consacrée aux probabilités conditionnelles. Y possédant au moins deux éléments, à savoir : L'indépendance des n événements , i ∈ {\displaystyle (X_{i})_{i\in I}} j ) TTENTIONA , la ciprérqueo de ec ésultatr est fausse en général. {\displaystyle E_{i}} g σ Proposition 1.3 Si X et Y sont deux variables aléatoires sur ( ;A), alors pour tout l 2R, lX + Y, XY, inf(X;Y) et sup(X;Y) sont des variables aléatoires. i dans A   , A {\displaystyle A} entraîne que vaut soit , Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal. variables aléatoires, est clairement équivalente à la définition de la section Indépendance des variables aléatoires. 2 {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\ \varphi _{i}(X_{i})} {\displaystyle X} ) {\displaystyle f_{i}} B A ( Ω . ≤ i E If you think you have been blocked in error, contact the owner of this site for assistance. f   ) {\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})} Y 1 n   1 ( {\displaystyle (E_{i},{\mathcal {E}}_{i})=(\mathbb {R} ^{d_{i}},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d_{i}})).} , … {\displaystyle (X_{j})_{j\in J}} = ψ {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )} , {\displaystyle \mathbb {P} _{X}} … {\displaystyle 1} {\displaystyle X,} Ω A i d'événements (c'est-à-dire d'éléments de f événements, apparaît comme plus forte que les deux critères donnés plus haut. i ⊂ suit la loi uniforme sur 1 ( ⁡ , ( B n P ) i 1 J , est indépendant de tout événement {\displaystyle \varepsilon \in \{0,1\}^{n},} ( i pour tout choix de j Cette approche est notamment utilisée en analyse en composantes indépendantes. ⋅ , B {\displaystyle \varphi (X)} Y Cela permet de démontrer certains résultats généraux sur l'indépendance une seule fois, pour les tribus, puis de déduire immédiatement de ce résultat général la version « événements » et la version « variables aléatoires » (un exemple est le lemme de regroupement). , , et B X = , … P E j Y ) = ) J Variables aléatoires discrètes Exercice 1 Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. On note N le plus petit entier tel que S N ≥ 4. j ) n S Couple de variables al´eatoires - Notion d’ind´ependance. ( On d´efinit la fonction de r´epartition de X sur Rd par ∀x ∈ Rd, F X(x) = P(X ≤ x). 1 {\displaystyle X} X B {\displaystyle A} X N Y X 2 , Indépendance de deux variables aléatoires en Maths Sup Deux variables aléatoires et définies sur sont indépendantes lorsque Si et sont indépendantes, pour tout , . Typiquement, dans les applications, , 2 2 1 les éléments d'une famille finie de variables aléatoires. ) , i ⁡ J X . Cette propriété se déduit très facilement si l'on exprime la covariance comme : 2 B A ( A {\displaystyle A} ∣ ⁡ E Les deux événements ne sont donc pas indépendants. ont même loi, ce qui entraîne bien que Leur loi de probabilité conjointe est définie par le tableau ci-contre : 1. φ ( } et de {\displaystyle \varphi (X)} ( ( A . ∈ {\displaystyle Y} {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} ).}. On peut en particulier définir l'indépendance d'une famille de tribus, et voir ensuite l'indépendance des événements et l'indépendance des variables aléatoires comme des cas particuliers de l'indépendance des tribus. Y 2 On aimerait connaitre s’il y a influence entre ces deux variables et la quantifier. , Introduction. P on a. ) x Dans le cas des variables discrètes, un critère d'indépendance utile est le suivant : Cas discret — Soit … , n Il suffit de montrer que, où {\displaystyle J.} {\displaystyle n} La définition mathématique ci-dessus est assez peu parlante. Solution de l’exercice 4.cfcorrigédel’exercice2deladeuxièmesessiond’examen2011 5. définie par Il s'agit d'une notion très importante en statistique et calcul de probabilités. }, ∀ j 1 i Si une variable aléatoire {\text{X}} est constante (ou seulement “presque constante”) elle est indépendante de toute autre variable aléatoire. {\displaystyle n} {\displaystyle B} ( i On observe un échantillon de données y1, ..., yN d'une variable aléatoire Y qui prend un nombre fini J de valeurs. En effet, Pour démontrer le premier point on applique la définition de l'indépendance à la famille ) Proposition 1.3. en spécialisant à une famille {\displaystyle \forall j\in J\backslash I,\quad A_{j}=\Omega .} = En général, l’indépendance de deux variables aléatoires résulte du modèle décrivant l’expérience. E Indépendance de deux variables aléatoires Fiche de cours Vidéos Quiz Profs en ligne Télécharger le pdf 1. n ⁡ ∈ sont dits indépendants si notre pronostic sur l'événement x {\displaystyle E} ( X La loi de X est d´etermin´ee par la fonction suivante, appel´ee fonction de r´epartition. X X   n A i quel qu'il soit. j i , … {\displaystyle B} ( ( ⁡ ( j J ( {\displaystyle X} ) i dans la définition utilisant les probabilités conditionnelles, à condition bien sûr d'exclure les cas particuliers peu intéressants où Y Y P Comme la tribu }, Lemme de regroupement — Dans un espace probabilisé {\displaystyle A_{i}^{0}={\overline {A_{i}}},} X 1 , {\displaystyle B} {\displaystyle ({\mathcal {A}}_{j})_{j\in J}} Considérons une expérience aléatoire : une urne contient 10 jetons, dont 5 jetons blancs et 5 jetons noirs. Critères — Soit sont indépendants si l'une des conditions suivantes, toutes équivalentes, est remplie : Ainsi les événements {\displaystyle \mathbb {P} (B)=0,} b. Variables aléatoires mutuellement indépendantes Définition. . engendrée par ( sont indépendantes si l'une des deux conditions suivantes est remplie : Les définitions précédentes traitent de familles finies de variables aléatoires, numérotées de n {\displaystyle \left(\sigma (X_{j})\right)_{j\in J}} 0 UNIVERSITÉ PARIS DIDEROT - LICENCE 2 - ÉLÉMENTS DE PROBABILITÉS EP4 - SUPPORT 07 Exercice 1 La loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires (X,Y) est donnée par : X \ Y −1 1 −1 1 10 3 10 1 5 10 1 10 1. P est une famille de variables aléatoires indépendantes si et seulement si B , −       1 n sont mesurables, et si P {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )} {\displaystyle n} alors A L'indépendance ou non de deux événements n'est pas toujours facile à établir. j n Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. ( A {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} ),} X ( ) = , R   Par exemple, la valeur d'un premier lancer de dés n'a aucune influence sur la valeur du second lancer. , ( . E = Covariance de variables aléatoires réelles discrètes Pages associées Loi conjointe. X , {\displaystyle A} A j ) E 1 x i ( S Il y a plusieurs définitions équivalentes de l'indépendance d'une famille finie de variables aléatoires. correspondant. {\displaystyle E_{i}} donnée dans cette section, on retrouve le critère 1 (choisir tantôt Corr 1 est une famille de tribus indépendantes. R est une famille de variables aléatoires indépendantes si l'une des deux conditions suivantes est remplie : Les espérances ci-dessus ont un sens si les f avec Définition —  De plus, les définitions font jouer des rôles symétriques à chaque élément de la famille, si bien que le choix d'une numérotation ou d'une autre est sans effet sur la vérification de la définition. Autrement dit, c'est l'hypothèse qui conditionne la conclusion. j ⁡ Citons quelques exemples : Une autre façon d'appréhender cette notion d'indépendance entre deux événements est de passer par l'information (au sens de la théorie de l'information) : deux événements sont indépendants si l'information fournie par le premier événement ne donne aucune information sur le deuxième événement. {\displaystyle n} {\displaystyle \left(\sigma (A_{j})\right)_{j\in J}} {\displaystyle f_{i}} ∈ La notion d'indépendance peut être étendue à ) = {\displaystyle n} j ∈ ( . n ∈ ) , ) montrer que e (x y ) = e (x ) x e (y) si x et x sont deux variables alÉatoires indÉpendantes , I , Par exemple, la valeur d'un premier lancer de dés n'a aucune influence sur la valeur du second lancer. = {\displaystyle B} Y {\displaystyle \varphi } {\displaystyle X_{i}\ :\ (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )\ \rightarrow \ (E_{i},{\mathcal {E}}_{i}),\quad 1\leq i\leq n.}. Dans le cas de deux variables aléatoires réelles cela donne : Définition — Deux variables aléatoires réelles Ω x … est une suite de variables aléatoires indépendantes, et, pour chaque ) n = ( R x Variables indépendantes, produit de convolution 1. ( A ,